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#schongewusst: Das steckt hinter hyperbolischer Geometrie

Was haben Korallen, Salatblätter, Seetang und Meeresschnecken gemeinsam? Ihre krausen, gezahnten Formen sorgen für eine große Oberfläche und folgen einer besonderen mathematischen Beschreibung: der hyperbolischen Geometrie. Was sich dahinter verbirgt, erfahren Sie in unserem #schongewusst-Beitrag!

Lange kannte die Mathematik nur die euklidische und die sphärische Geometrie. Die euklidische Geometrie beschreibt die uns vertraute Geometrie mit einem rechtwinkligen Koordinatensystem im dreidimensionalen Raum. Wohingegen sich die sphärische Geometrie mit Punkten und Flächen auf einer Kugeloberfläche befasst. Erst in den 1820er und 1830er Jahren entdeckten der ungarische Mathematiker János Bolyai und sein russischer Kollege Nicholay Lobatchevsky die hyperbolische Geometrie.

Mehr Beiträge aus der Reihe #schongewusst gibt es hier!

Wie kann man sich nun ein Objekt vorstellen, für das eine solche Geometrie gilt? Hier hilft eine Analogie: Stellen wir uns ein zweidimensionales Wesen vor, das bei einem Dreieck in den verschiedenen Geometrien die Winkel messen kann. Dann wird ein solches Wesen bei einem Dreieck in der euklidischen Geometrie den Winkelsummensatz von 180° bestätigen. Auf der Oberfläche einer Kugel wird es eine Winkelsumme ermitteln, die größer ist als 180° und auf der Oberfläche eines hyperbolischen Objekts eine Winkelsumme, die kleiner ist als 180°.

Euklidische, elliptische und hyperbolische Geometrie. Quelle: Bucher, Sperger 2001: 38, zitiert in: thur.de, abgerufen am 26. Mai 2021.

Mehr als ein Jahrhundert lang suchten Mathematikerinnen und Mathematiker vergeblich nach einer konkreten Darstellung einer hyperbolischen Fläche. 1997 gelang es Daina Taimina, einer Mathematikerin an der Cornell University, eine solche Fläche herzustellen bzw. zu häkeln. Das Besondere an einer solchen Fläche ist, dass man sie sich als Gegenstück zu einer Kugeloberfläche vorstellen kann. Auf einer Kugel krümmt sich jede Fläche in sich selbst. Eine hyperbolische Fläche hingegen krümmt sich von sich selbst weg und wächst exponentiell.

Übrigens: Eine Anleitung für hyperbolisch gehäkelte Korallen finden Sie hier. Im Rahmen unserer Häkelaktion für den Umweltschutz der Zusatzausstellung „Pale blue dot“ haben wir zahlreiche bunte Korallen erhalten und sagen noch einmal DANKE!

Für Daina Taimina ist das Häkeln der besonders eindrücklich: „Beim Häkeln bekommt man ein sehr konkretes Gefühl dafür, wie sich die Fläche exponentiell vergrößert. Die ersten Reihen sind schnell gehäkelt, aber die späteren Reihen können buchstäblich Stunden dauern, so viele Maschen haben sie. Man bekommt ein Gefühl dafür, was ‚hyperbolisch‘ wirklich bedeutet.“

Quellen: